Cálculo II › Técnicas de integración · lección de muestra
Cálculo I te dio una técnica de integración que deshace la composición: la sustitución, la regla de la cadena leída al revés. Pero muchos integrandos son productos de funciones sin relación entre sí — x cos x, x² eˣ, ln x por sí solo — donde la derivada de ninguna función interna anda cerca esperando para cancelarse. Para estos casos necesitas una técnica que deshaga la regla del producto. Parte de la regla del producto para la diferenciación: d/dx[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Integra ambos lados con respecto a x: u(x)v(x) = ∫u'(x)v(x) dx + ∫u(x)v'(x) dx. Reordenando, y escribiendo du = u'(x) dx y dv = v'(x) dx por brevedad, se obtiene la fórmula de integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du. Has cambiado una integral por otra — la esperanza, y toda la habilidad del método, es que la nueva integral ∫v du sea más fácil que aquella con la que empezaste.
Cada factor del integrando debe asignarse a u o a dv. Un orden de preferencia útil para elegir u, que se recuerda con el acrónimo LIATE, es: Logarítmica, trigonométrica Inversa, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial. Elige como u la categoría que aparezca primero en el integrando entre estas — ese factor tiende a simplificarse (o al menos no empeorar) al diferenciarlo, mientras que dv debe ser una pieza que realmente sepas antiderivar. Si inviertes la elección, la nueva integral suele ser más difícil que la original — una señal de alarma confiable para intentarlo de nuevo.
Según LIATE, el factor algebraico x tiene prioridad sobre el factor trigonométrico, así que toma u = x y dv = cos x dx.
Entonces du = dx, y al antiderivar dv se obtiene v = sin x.
Aplica la fórmula: ∫x cos x dx = uv − ∫v du = x sin x − ∫sin x dx.
La integral restante es elemental: ∫sin x dx = −cos x. Así que la respuesta es x sin x − (−cos x) + C = x sin x + cos x + C.
Comprueba diferenciando: d/dx[x sin x + cos x] = sin x + x cos x − sin x = x cos x, exactamente el integrando original.
Algunos integrandos necesitan que apliques la fórmula más de una vez (un factor algebraico elevado a una potencia, diferenciado repetidamente hasta volverse una constante), y una familia especial de integrandos — un producto de una exponencial por un seno o coseno — nunca se simplifica a cero sin importar cuántas veces lo diferencies. Esa familia se resuelve con un truco algebraico ingenioso que vale la pena ver una vez.
Llama I a la integral desconocida. Toma u = eˣ, dv = cos x dx, así que du = eˣ dx y v = sin x. Entonces I = eˣ sin x − ∫eˣ sin x dx.
Ataca ∫eˣ sin x dx de la misma manera: u = eˣ, dv = sin x dx, así que du = eˣ dx y v = −cos x. Esto da ∫eˣ sin x dx = −eˣ cos x + ∫eˣ cos x dx = −eˣ cos x + I.
Sustituye de vuelta: I = eˣ sin x − (−eˣ cos x + I) = eˣ sin x + eˣ cos x − I.
La incógnita I ahora aparece en ambos lados. Suma I a ambos lados: 2I = eˣ sin x + eˣ cos x, así que I = (eˣ/2)(sin x + cos x) + C.
Nada de esto fue un límite ni un proceso infinito — es álgebra ordinaria aplicada a una ecuación que resulta contener precisamente la integral que estás resolviendo. El truco se generaliza a cualquier integral de una exponencial multiplicada por una función seno o coseno.
La integración por partes es, después de la sustitución, la técnica más usada de todas: evalúa ∫ln x dx, todo cálculo de momentos en probabilidad (∫x·f(x) dx para una densidad f), y las fórmulas de reducción que hacen funcionar a los sistemas de álgebra computacional. También es el motor detrás de varios resultados que encontrarás más adelante en este curso, incluyendo los coeficientes generales de las series de potencias construidos a partir de la diferenciación repetida.
Plan de estudios alineado con Calculus Volume 2 de OpenStax; todo el texto de las lecciones es original de Syllabus.
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