Cálculo II › Técnicas de integração · aula de amostra
O Cálculo I deu a você uma técnica de integração que desfaz a composição: a substituição, a regra da cadeia lida de trás para frente. Mas muitos integrandos são produtos de funções não relacionadas — x cos x, x² eˣ, ln x sozinho — nos quais a derivada de nenhuma função interna está à espreita, pronta para se cancelar. Para esses casos, você precisa de uma técnica que desfaça a regra do produto. Parta da regra do produto para a derivação: d/dx[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Integre os dois lados em relação a x: u(x)v(x) = ∫u'(x)v(x) dx + ∫u(x)v'(x) dx. Reorganizando, e escrevendo du = u'(x) dx e dv = v'(x) dx por brevidade, obtém-se a fórmula de integração por partes: ∫u dv = uv − ∫v du. Você trocou uma integral por outra — a esperança, e toda a habilidade envolvida, é que a nova integral ∫v du seja mais fácil do que aquela com a qual você começou.
Todo fator do integrando precisa ser atribuído a u ou a dv. Uma ordem de preferência útil para u, lembrada pelo acrônimo LIATE, é: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial. Escolha u a partir de qualquer uma dessas categorias que aparecer primeiro no integrando — esse fator costuma simplificar (ou pelo menos não piorar) ao ser derivado, enquanto dv deve ser uma parte que você realmente consiga antidiferenciar. Se a escolha for invertida, a nova integral costuma ficar mais difícil do que a original — um sinal de alerta confiável para tentar de novo.
Pelo LIATE, o fator algébrico x tem prioridade sobre o fator trigonométrico, então faça u = x e dv = cos x dx.
Assim, du = dx, e antidiferenciando dv obtém-se v = sin x.
Aplique a fórmula: ∫x cos x dx = uv − ∫v du = x sin x − ∫sin x dx.
A integral restante é elementar: ∫sin x dx = −cos x. Logo, a resposta é x sin x − (−cos x) + C = x sin x + cos x + C.
Confira derivando: d/dx[x sin x + cos x] = sin x + x cos x − sin x = x cos x, exatamente o integrando original.
Alguns integrandos exigem que a fórmula seja aplicada mais de uma vez (um fator algébrico elevado a uma potência, derivado repetidamente até se tornar uma constante), e uma família especial de integrandos — um produto de uma exponencial por um seno ou cosseno — nunca se reduz a zero, não importa quantas vezes você derive. Essa família é resolvida por um truque algébrico engenhoso que vale a pena conhecer.
Chame a integral desconhecida de I. Faça u = eˣ, dv = cos x dx, de modo que du = eˣ dx e v = sin x. Então I = eˣ sin x − ∫eˣ sin x dx.
Ataque ∫eˣ sin x dx da mesma forma: u = eˣ, dv = sin x dx, de modo que du = eˣ dx e v = −cos x. Isso dá ∫eˣ sin x dx = −eˣ cos x + ∫eˣ cos x dx = −eˣ cos x + I.
Substitua de volta: I = eˣ sin x − (−eˣ cos x + I) = eˣ sin x + eˣ cos x − I.
A incógnita I agora aparece nos dois lados. Some I aos dois lados: 2I = eˣ sin x + eˣ cos x, logo I = (eˣ/2)(sin x + cos x) + C.
Nada aqui envolveu um limite ou um processo infinito — é álgebra comum aplicada a uma equação que contém a própria integral que você está resolvendo. O truque se generaliza para qualquer integral do tipo exponencial vezes senoide.
A integração por partes é, de longe, a técnica mais usada além da substituição: ela calcula ∫ln x dx, todo cálculo de momento em probabilidade (∫x·f(x) dx para uma densidade f) e as fórmulas de redução que fazem os sistemas de álgebra computacional funcionarem. Ela também é o motor por trás da dedução de vários resultados que você encontrará mais adiante neste curso, incluindo os coeficientes gerais de séries de potências construídos a partir de derivações repetidas.
Currículo alinhado a Calculus Volume 2 da OpenStax; todo o texto das lições é original do Syllabus.
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