Precálculo › Funciones y sus gráficas · lección de muestra
Una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Esa palabra, exactamente, encierra toda la idea. Introduce un número en la regla y te devuelve un único número, nunca dos, nunca ninguno. Piensa en una máquina expendedora: presionas B4 y obtienes el mismo producto específico cada vez. Una máquina que a veces entregara papas fritas y a veces un refresco al pulsar el mismo botón sería inútil, y en matemáticas ni siquiera sería una función. El conjunto de entradas permitidas es el dominio; el conjunto de salidas que la regla puede producir realmente es el rango.
Escribimos y = f(x) y lo leemos como «y es igual a f de x». Aquí x es la entrada, f es el nombre de la regla y f(x) es la salida que la regla produce a partir de x. La letra x es solo un marcador de posición: f(3) significa sustituir por 3 en cada lugar donde aparece x. Así, si f(x) = x² + 1, entonces f(3) = 3² + 1 = 10 y f(a + 1) = (a + 1)² + 1. La letra en sí no importa; lo que importa es la regla.
Una función puede describirse de cuatro maneras: con palabras, con una tabla de pares entrada–salida, con una ecuación o con una gráfica. La gráfica es la más reveladora, porque muestra todos los pares entrada–salida a la vez como el punto (x, f(x)). Esto conduce a una prueba rápida. Una curva en el plano es la gráfica de una función precisamente cuando pasa la prueba de la recta vertical: ninguna recta vertical toca la curva más de una vez. Una recta vertical representa una única entrada x, y si cortara la curva dos veces, esa entrada tendría dos salidas, lo cual está prohibido. Un círculo no pasa la prueba; una parábola que abre hacia arriba sí la pasa.
A partir de una gráfica puedes leer el dominio recorriéndola de izquierda a derecha (¿qué valores de x cubre la curva?) y el rango recorriéndola de abajo hacia arriba (¿qué valores de y se alcanzan?). Un punto donde la gráfica cruza el eje x es un cero de la función, una entrada cuya salida es 0; donde cruza el eje y está el valor f(0).
Halla el dominio de f(x) = √(x − 4) dividido entre (x − 7). Se aplican dos restricciones distintas, y respetamos ambas.
La raíz cuadrada exige un radicando no negativo: x − 4 ≥ 0, de modo que x ≥ 4.
El denominador no puede ser cero: x − 7 ≠ 0, de modo que x ≠ 7.
Combina las condiciones: x debe ser al menos 4, pero distinto de 7. En notación de intervalos, el dominio es [4, 7) junto con (7, ∞).
La lección se generaliza: siempre que encuentres una raíz de índice par, obliga a que su interior sea no negativo; siempre que encuentres una fracción, prohíbe un denominador nulo; y más adelante, siempre que encuentres un logaritmo, obliga a que su argumento sea positivo. Hallar el dominio no es más que la disciplina de nunca pedirle a una regla que haga algo indefinido.
Las funciones son los sustantivos de todo lo que sigue. Los polinomios, las exponenciales, los logaritmos y las funciones trigonométricas son todas funciones específicas con personalidades específicas, y el cálculo —el curso al que este da paso— estudia cómo cambian y se acumulan las funciones. Domina ahora el vocabulario de entrada, salida, dominio, rango y gráfica, y cada tema posterior se convertirá en una variación de un lenguaje que ya hablas con fluidez.
Plan de estudios alineado con Precalculus 2e de OpenStax; todo el texto de las lecciones es original de Syllabus.
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