Pré-Cálculo › Funções e Seus Gráficos · aula de amostra
Uma função é uma regra que associa a cada entrada exatamente uma saída. Essa palavra — exatamente — carrega toda a ideia. Forneça um número à regra e ela devolve um único número, nunca dois, nunca nenhum. Pense em uma máquina de venda automática: aperte B4 e você recebe sempre o mesmo lanche específico. Uma máquina que às vezes soltasse salgadinhos e às vezes um refrigerante para o mesmo botão seria inútil e, em matemática, nem sequer seria uma função. O conjunto das entradas permitidas é o domínio; o conjunto das saídas que a regra é capaz de produzir é a imagem.
Escrevemos y = f(x) e lemos "y igual a f de x". Aqui x é a entrada, f é o nome da regra e f(x) é a saída que a regra produz a partir de x. A letra x é apenas um espaço reservado: f(3) significa substituir x por 3 em toda parte em que ele apareça. Assim, se f(x) = x² + 1, então f(3) = 3² + 1 = 10 e f(a + 1) = (a + 1)² + 1. A letra em si não importa; o que importa é a regra.
Uma função pode ser descrita de quatro maneiras: em palavras, com uma tabela de pares entrada–saída, com uma equação ou com um gráfico. O gráfico é o mais revelador, pois mostra de uma só vez todos os pares entrada–saída como o ponto (x, f(x)). Isso conduz a um teste rápido. Uma curva no plano é o gráfico de uma função exatamente quando passa no teste da reta vertical: nenhuma reta vertical toca a curva mais de uma vez. Uma reta vertical representa uma única entrada x e, se atingisse a curva duas vezes, essa entrada teria duas saídas — o que é proibido. Um círculo não passa no teste; uma parábola com concavidade para cima passa.
A partir de um gráfico você pode ler o domínio varrendo da esquerda para a direita (quais valores de x a curva cobre?) e a imagem varrendo de baixo para cima (quais valores de y são atingidos?). Um ponto em que o gráfico cruza o eixo x é um zero da função, uma entrada cuja saída é 0; onde ele cruza o eixo y está o valor f(0).
Encontre o domínio de f(x) = √(x − 4) dividido por (x − 7). Duas restrições distintas se aplicam, e respeitamos ambas.
A raiz quadrada exige um radicando não negativo: x − 4 ≥ 0, logo x ≥ 4.
O denominador não pode ser zero: x − 7 ≠ 0, logo x ≠ 7.
Combine as condições: x deve ser pelo menos 4, mas diferente de 7. Em notação de intervalo, o domínio é [4, 7) reunido com (7, ∞).
A lição se generaliza: sempre que encontrar uma raiz de índice par, force o que está dentro dela a ser não negativo; sempre que encontrar uma fração, proíba um denominador nulo; e, mais adiante, sempre que encontrar um logaritmo, force seu argumento a ser positivo. Encontrar o domínio é apenas a disciplina de nunca pedir a uma regra que faça algo indefinido.
As funções são os substantivos de tudo o que vem a seguir. Polinômios, exponenciais, logaritmos e as funções trigonométricas são todos funções específicas com personalidades específicas, e o cálculo — o curso para o qual este serve de preparação — estuda como as funções variam e acumulam. Domine agora o vocabulário de entrada, saída, domínio, imagem e gráfico, e cada tópico posterior se tornará uma variação de uma língua que você já fala fluentemente.
Currículo alinhado a Precalculus 2e da OpenStax; todo o texto das lições é original do Syllabus.
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